Effectief financieel rekenen met Excel – Deel 3: De eindwaarde respectievelijk contante waarde van een regelmatige betaalreeks

04 oktober 2012

Dit is het derde artikel in de reeks 'Effectief financieel rekenen met Excel' waarin de focus ligt op de eindwaarde respectievelijk contante waarde van een regelmatige betaalreeks. Excel goeroe Geert Wessels laat aan de hand van een praktijkvoorbeeld zien hoe u de eindwaarde van een dadelijk ingaande betalingsreeks van een x-aantal termijnen berekend. Onmisbare kennis voor financials die meer willen halen uit Excel.

Dit artikel maakt deel uit van de reeks: ‘Effectief financieel rekenen met Excel’. Lees hier:
– Het inleidende artikel
– Deel 1 – Toegang, werking en spelregels van financiële functies
– Deel 2 – De eindwaarde respectievelijk contante waarde van één bedrag of kapitaal
– Deel 3 – De eindwaarde respectievelijk contante waarde van een regelmatige betaalreeks
– Deel 4 – De eindwaarde respectievelijk contante waarde van één bedrag in combinatie met een regelmatige betaalreeks
– Deel 5 – De contante waarde van een gelijkblijvende oneindige betaalreeks
– Deel 6 – De contante waarde van een groeiende oneindige betaalreeks

Met behulp van de basisfuncties TW en BET is het mogelijk om de eindwaarde respectievelijk de contante waarde te berekenen van regelmatige betaalreeksen. Van belang daarbij is dat betalingen aan het begin of aan het eind van de periode kunnen plaatsvinden. In het eerste geval spreken van prenumerando en in het tweede geval van postnumerando betalingen.

Bij dergelijke berekeningen maken we gebruik van de algemene formule voor regelmatige meetkundige reeksen. Voor eindwaarde berekeningen ziet de formule van een regelmatige meetkundige reeks betalingen er als volgt uit:

waarbij:

EW = de eindwaarde van de betalingsreeks;
a    = de eerste term van de meetkundige reeks;
r     = de reden van de meetkundige reeks;
n    = het aantal termen van de meetkundige reeks.

In de financiële literatuur wordt hiervoor ook wel de volgende ‘kleine s’-schrijfwijze gebruikt:

met:

p = de samengestelde intrestvoet;
n = het aantal perioden.

Ook bij de contante waardeberekening van een regelmatige reeks betalingen rekenen we met de formule voor een meetkundige reeks:

waarbij:

a = de eerste term van de meetkundige reeks;
r = de reden van de meetkundige reeks;
n = het aantal termen van de meetkundige reeks.

In de financiële literatuur wordt hiervoor ook wel de volgende ‘kleine a’-schrijfwijze gebruikt:

met:

p = de samengestelde intrestvoet;
n = het aantal perioden.

Voorbeeld
We willen de eindwaarde van een dadelijk ingaande prenumerando betalingsreeks van acht termijnen, elk groot € 500, per het einde van het achtste jaar berekenen. De intrestvoet bedraagt 3 % jaarlijks.
__________________________________________________________________________________
Excelleer met Excel
Werkt u regelmatig met Excel? Bent u ook veel energie kwijt aan het opstellen van analyses en presentaties? Ontdek nu de verbluffende mogelijkheden van Excel die u veel voordeel zullen opleveren, waarmee u forse tijdwinst boekt en onnodige fouten voorkomt. Benut Excel’s potentieel volledig. Volg een van de cursussen. Meld u direct aan.
__________________________________________________________________________________

Het vraagstuk ziet er volgens het bijbehorende cashflowdiagram als volgt uit:

Van elk der betalingen van € 500 moeten we de eindwaarde berekenen per het einde van het achtste jaar.

Overeenkomstige toepassing van de formule voor een (dalende) meetkundige reeks geeft:

Bij de berekening van de eindwaarde van een reeks gelijke bedragen gebruiken we, evenals bij de eindwaarde van één kapitaal, de basisfunctie TW(rente;aantal-termijnen;bet;hw;type_getal). Na invulling van de functieargumenten verschijnt de handmatig berekende uitkomst van € 4.579,55 rechtsmidden in het scherm:

Omdat sprake is van een prenumerando reeks is de parameter type_getal gelijk aan 1. Bij een postnumerando reeks (type_getal = 0) zou, uitgaande van voor het overige gelijke cijfers, het volgende beeld ontstaan:

Het verschil met de berekening volgens de prenumerando reeks is in dit geval gelijk aan de disconteringsfactor 1/1,06:

€ 4.446,16 = € 4.579,55 * 1/1,03

Ten aanzien van de gehanteerde notatievorm wijzen we er op dat we het argument BET van een negatief teken voorzien, omdat het een uitgaande stroom van betalingen betreft.

Met de uitkomst van de prenumerando eindwaarde berekening in de hand (€ 4.579,55) draaien we vervolgens de vraagstelling om en vragen ons af wat de inbreng aan periodieke betalingen (BET) moet zijn om dit bedrag na 8 termijnen te bereiken.

In formulevorm, met BET als onbekende, ziet dit er als volgt uit:

Of via Invulling van de formule voor een meetkundige reeks:

Bij het vinden van de oplossing voor deze vergelijking maken we in Excel gebruik van de functie BET(rente;aantal-termijnen;hw;tw;type_getal).
__________________________________________________________________________________
Excelleer met Excel
Werkt u regelmatig met Excel? Bent u ook veel energie kwijt aan het opstellen van analyses en presentaties? Ontdek nu de verbluffende mogelijkheden van Excel die u veel voordeel zullen opleveren, waarmee u forse tijdwinst boekt en onnodige fouten voorkomt. Benut Excel’s potentieel volledig. Volg een van de cursussen. Meld u direct aan.
__________________________________________________________________________________

Na invulling van de reeds bekende functieargumenten verschijnt – € 500 als uitkomst voor de hoogte van de bijbehorende prenumerando reeks:

Indien we uitgaan van een postnumerando reeks verschijnt – € 515 als uitkomst:

Het verschil met de berekening volgens de prenumerando reeks is in dit geval gelijk aan de vermenigvuldigingsfactor 1,06:

€ 515 = 1,03 * € 500

De samenhang met de andere basisfuncties
Aan de hand van het uitgewerkte voorbeeld kan – ter controle – de samenhang tussen de vijf basisfuncties getoond worden, met name in relatie tot de overige functies Rente, NPER en HW:

In B9 en C9 zijn de berekende resultaten weergegeven voor de functies TW en BET. De bekende argumenten zijn opgenomen in het bereik B2:B7 respectievelijk C2:C7.

Met de functie Rente, die opgenomen is in E9, kan berekend worden welk percentage nodig is bij de in het bereik E2:E7 opgenomen argumentwaarden. Bij deze functie dient het aantal termijnen (NPER), de huidige waarde (HW) en de eindwaarde (TW) ingevuld te zijn. De uitkomst is 3 %.

Ter controle: dit percentage hanteerden we ook bij de berekening van TW en BET (zie de cellen B2 en C2).

Met de functie NPER, die opgenomen is in F9, kan berekend worden hoeveel termijnen nodig zijn bij de in het bereik F2:F7 opgenomen waarden. Bij deze functie dient het rentepercentage (Rente), de huidige waarde (HW) en de eindwaarde (TW) ingevuld te zijn. De uitkomst is 8 termijnen.

Ter controle: dit aantal termijnen hanteerden we eveneens bij de berekening van TW en BET (zie de cellen B3 en C3).

Met de functie HW kunnen we tenslotte de contante waarde van de kapitaalinbreng aan het begin berekenen. Deze is gelijk nul omdat we in de casus (uitsluitend) werken met termijnbetalingen (BET).

Ter controle: dit bedrag is gelijk aan nul en zien we terugkomen in de berekening van TW en BET (zie de cellen B5 en C5).

In het volgende artikel uit de reeks kijken we naar de eindwaarde respectievelijk contante waarde van één bedrag in combinatie met een regelmatige betaalreeks

Geert Wessels (1957) studeerde bedrijfseconomie aan de KUB (doctoraal 1981: specialisatie ondernemingsfinanciering) en volgde daarna nog diverse postdoctorale informaticastudies. Hij heeft verschillende staf-, advies- en managementfuncties vervuld binnen met name de gezondheidszorg en de volkshuisvesting. Zijn ervaringen met Excel liggen met name op het terrein van de financiële rekenkunde.